Calculs de dérivées

Nombre dérivé et équation de tangente

Problèmes

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Dérivée d'un polynôme

$(ax^{n})'=nax^{n-1}\ pour\ n\geq 1$

Exercices:
Cliquez sur le bouton fonction pour avoir l'expression d'une fonction polynôme; calculez sa dérivée puis vérifiez votre résultat en cliquant sur le bouton dérivée.

Dérivée d'un produit

$f(x)= u(x)v(x)\ ;\ on\ a\ f'= u'v+uv'$

Dans ce qui suit r(x) est la racine carrée de x.

Les fonctions sont de la forme:
$f(x)= ax^{n}\sqrt{x}\ \ \text{avec a}\in \mathbb{R}$

EXEMPLE:

$f(x)=-2x^{5}\sqrt{x}\ on\ pose\ u(x)=-2x^{5}\ donc\ u{}'(x)=-10x^{4}\ \\v(x)=\sqrt{x}\ donc\ v{}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ \text{ par cons\'equent}\ f{}'(x)=-10x^{4}\sqrt{x}-2x^{5}\frac{1}{2\sqrt{x}}\\\text{ donc en r\'eduisant au meme d\'enominateur}:\\\\f{}'(x)=\frac{-10x^{4}\sqrt{x}\ \times2\sqrt{x}-2x^{5}}{2\sqrt{x}}=\frac{-20x^{5}-2x^{5}}{2\sqrt{x}}=\frac{-22x^{5}}{2\sqrt{x}}=\frac{-11x^{5}}{\sqrt{x}}$

Exercices: Cliquez sur le bouton fonction puis calculez la dérivée. 
Vérifiez votre calcul en cliquant sur le bouton dérivée

Petit QUIZ

g(x)=(3-2x)f(x)	h(x)=-3x²f(x)
g´(x)=	h´(x)=
2f(x)+(2x-3)f´(x) -f(x)+(3-2x)f´(x) -2f(x)+(3-2x)f´(x)	xf(x)-3x²f´(x) -6xf(x)-3x²f´(x) -2xf(x)+6x²f´(x)

Solution:cliquez sur le lien correspondant ci-dessous

fonction g:

$g(x)=(3-2x)f(x)\ on\ a:\ (3-2x){}'=-2\ d'o\grave{u}\:\\ g{}'(x)=-2f(x)+(3-2x)f{}'(x)$

fonction h:

$h(x)=-3x^{2}f(x)\ or\ (-3x^{2}){}'=-6x\ d'o\grave{u}\\h{}'(x)=-6xf(x)-3x^{2}f{}'(x)$

Dérivée d'un quotient

$\text{fonctions de la forme: }f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\ \text{; on a : }f'= \frac{u{}'v-uv{}'}{v^{2}}$

Les fonctions homographiques:

$\text{elles sont de la forme }f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Autres fonctions:

Cas particulier: fonctions inverses

$\text{elles sont de la forme:}\ f(x)=\frac{a}{v(x)}\ et\ on\ a\ f'{(x)}=-\frac{av'{(x)}}{v^{2}(x)}$

QUIZ

$\boxed{\text{Fonctions usuelles}}\\\color{blue}(a){}'=0;\ \left ( ax^n \right ){}'= nax^{n-1};\\\ \left ( \sqrt{x} \right ){}'=\frac{1}{2\sqrt{x}};\ \left ( \frac{a}{x} \right ){}'=-\frac{a}{x^2}\\\color{black}\boxed{\text{Opérations}}\\\color{red}(u+v){}'=u{}'+v{}';\ (au){}'=au{}';\\\ (uv){}'=u{}'v+uv{}';\\\left ( \frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^2};\ \left ( \frac{a}{v} \right ){}'=-\frac{av{}'}{v^2}$

Retrait: cliquez sur ce texte

Chronomètre

Fonction:	Dérivée:	Réponse:
$f_1(x)= -\frac{3}{2}x^{4}-\pi \frac{x^{2}}{2}-x+1$
$f_2(x)=-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-x+\sqrt{5}$
$f_3(x)=3x^{2}-2x+3\sqrt{x}-1$
$f_4(x)=2x-\sqrt{x}+3$
$f_5(x)=(-3x+1)\sqrt{x}$
$f_6(x)=2x^{2}\sqrt{x}-\sqrt{x}+3$
$f_7(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+3}$
$f_8(x)=\frac{x^{2}+x-3}{x^{2}-3}$
$f_9(x)=3x+1-\frac{2}{x-1}$
$f_1_0(x)=x^{2}-2x+3+\frac{5}{1-2x}$